Estensione di anelli

In teoria degli anelli, una branca della matematica, un'estensione di anelli è una coppia di anelli (R, S) in cui uno è contenuto nell'altro, cioè ${\displaystyle S\subseteq R}$. Tale situazione si indicherà con R/S e si dirà che R è un'estensione di anelli di S..

A partire da un'estensione di anelli R/S e da un sottoinsieme B di R, è possibile costruire il più piccolo sottoanello di R contenente sia S che B: tale anello si indica con S[B] e si può dimostrare che coincide con l'insieme delle possibili combinazioni di elementi di ${\displaystyle S\cup B}$ mediante le operazioni di anello (somma e prodotto) di R.

Se esiste un insieme finito ${\displaystyle B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}}$ tale che ${\displaystyle R=S[B]}$ l'estensione R/S si dice finitamente generata.

Particolari tipi di estensioni di anelli sono le estensioni di campi. Si può provare che se R/K è un'estensione di anelli in cui K è un campo ed R=K[A] per qualche insieme A di elementi algebrici su K, allora anche R è un campo, precisamente il campo K(A) che si ottiene aggiungendo gli elementi di A a K, e dunque R/K è un'estensione di campi.

Note

Voci correlate

• Anello (algebra)
• Estensione di campi
• Algebra astratta
• Teoria degli anelli

Collegamenti esterni

• (EN) Opere riguardanti Ring extensions (Algebra), su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Ring Extension / Extension Ring, su MathWorld, Wolfram Research.